Eine (fast) optimale Strategie für das Endspiel von Bluff!

 

Wir haben uns hier schon häufiger mit dem Endspiel von Bluff befasst. Dieses Mal kommen wir der optimalen Strategie (Nash Gleichgewicht) des Spieles tatsächlich schon recht nahe!

Ich möchte eine Strategie für Spieler 2 vorstellen, die mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit gewinnt; außerdem noch eine Strategie für Spieler 1 (Startspieler), die mit mindestens 48% Wahrscheinlichkeit gewinnt!

 

Vermutlich kann man beide Strategien noch etwas verbessern, sodass bei optimaler Strategie der Startspieler mit maximal 2% Wahrscheinlichkeit im Nachteil ist – für ein reales Spiel sind diese kleinen Unterschiede aber kaum bemerkbar.

 

Hier also die recht anschauliche Strategie für Spieler 2:

Spieler 1 macht das erste Gebot!

 

1.Runde, Spieler 2:

 

hört Pasch: zw (=Anzweifeln)

 

hört 1:

hat 1,*      -> 11 (Spieler 2 hört ein Gebot von 1; er hat entweder eine 1 oder einen * gewürfelt und bietet dann Pasch-1)

    2,3      -> zw

 4      -> 4

 5      -> 5

 

hört 2:

hat 2,*      -> 22

    1,3      -> zw

      4      -> 4

      5      -> 5

 

hört 3:

hat  3,*     -> 33

1,2     -> zw

4               -> 4

5                -> 5

 

hört 4:

hat  4,*     -> 44

1,2,3   -> zw

5       -> 5

 

hört 5:

hat  5,*     -> 55

1,2,3,4 -> zw

 

hört *:

hat  1,3,4,5 -> zw

2       -> 22

*       -> **

 

Alle weiteren Runden: Anzweifeln!

 

Beweis:

Als Beweis dafür, dass hier Spieler 2 mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit gewinnt, betrachte man folgende Tabelle, welche die minimalen Gewinnwahrscheinlichkeiten(in Einheiten von 1/36) von Spieler 2 enthält, wenn Spieler 1 X(Zeile) geworfen hat und dann Y(Spalte) als Gebot ansagt! Zu beachten ist, dass Spieler 2 in der zweiten Runde immer anzweifelt!

 

 

1

2

3

4

5

*

min

1

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

5

4

3

4

4

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

4

4

3

5

2

2

2

3

2

4

2

*

1

1

1

1

1

2

1

(Pasch-Gebote werden hier nicht aufgeführt, da Spieler 2 dabei immer mit mindestens 4/36 gewinnt)

 

In der rechten Spalte ist das Minimum der Zeile aufgeführt, da Spieler 1 natürlich versucht, die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2 durch sein Gebot zu minimieren. Die Summe der Min-Spalte ergibt jetzt 18/36 – also 50% Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2!   q.e.d.

 

Jetzt noch die angekündigt Strategie von Spieler 1 mit 173/360 = ca. 48% Gewinnwahrscheinlichkeit:

 

1.Runde, Spieler 1:

 

* -> 4 (3/10)

     5 (7/10) (Spieler 1 hat * gewürfelt und bietet eine 4 mit 3/10 und

               eine 5 mit 7/10 Wahrscheinlichkeit)

1 -> 4 (1/2)

     5 (1/2)

2,3->4 (2/5)

     5 (3/5)

4 -> 4

5 -> 5

 

2.Runde, Spieler 1:

 

Hat 1 und 4 gesagt(in erster Runde):

 

  Hört * :      11 (3/5)

                zw (2/5)

  Hört 5 :      *  (1/5)

                11 (3/5)

                zw (1/5)

  Hört Pasch -> zw

 

 Hat 1 und 5 gesagt:

 

  Hört * :      11

  Hört Pasch -> zw

 

Hat 2 und 4 gesagt:

 

  Hört * :      22 (7/8)

                zw (1/8)

  Hört 5 :      *  (1/4)

                22 (3/4)

  Hört Pasch -> zw

 

Hat 2 und 5 gesagt:

 

  Hört * :      22 (5/6)

                zw (1/6)

  Hört Pasch -> zw

 

Hat 3 und 4 gesagt:

 

  Hört * :      33 (7/8)

                zw (1/8)

  Hört 5 :      *  (1/4)

                33 (3/4)

  Hört Pasch -> zw

 

 Hat 3 und 5 gesagt:

  Immer :       zw

 

Hat 4 und 4 gesagt:

 

  Hört * :      44 (7/20)

                zw (13/20)

  Hört 5 :      *  (1/10)

                44 (3/10)

                zw (6/10)

  Hört Pasch -> zw

 

Hat 5 und 5 gesagt:

 

  Immer :       zw

 

Hat * und 4 gesagt:

 

  Hört * :      ** (5/6)

                11 (1/6)

  Hört 5 :      *  (anschließend in 3.Runde immer **)

  Hört Pasch -> **

 

Hat * und 5 gesagt:

 

  Immer :       **

 

Alles weitere Anzweifeln !

 

Beweis:

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten wurde per PC durchgeführt mittels der gtf-Bibliothek; Siehe http://www.daimi.au.dk/~trold/gtf.html


Nachtrag (30.12.08):

Eine komplette spieltheoretische Berechnung des Spieles mittels der performanceoptimierten PCx Bibliothek ergibt eine Gewinnwahrscheinlichkeit für den Startspieler von 48,6% (gerundet).

Die dabei berechneten Strategien sind aber nicht mehr so anschaulich und können daher hier auch nicht mehr aufgeführt werden.

Die obige Strategie für Spieler 1 ist also nur 0,6% vom Optimum entfernt!

Ein paar weitere Erkenntnisse:


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2008, Günther Rosenbaum